1、问得好！要完完整整、彻彻底底地回答楼主的问题，在这里是力所不能及的。

(资料图片仅供参考)

2、这两个重要极限的用处实在是太大了：sinx/x 的极限，在中国国内的教学环境中，经常被歪解成 等价无穷小。

3、而在国际的微积分教学中，依旧是中规中矩， 没有像国内这么疯狂炒作等价无穷小代换。

4、 sinx 经过麦克劳林级数展开后，x 是最低价的无穷小，sinx 跟 x 只有在比值时，当 x 趋向于 0 时，极限才是 1。

5、 用我们一贯的，并不是十分妥当的说法，是“以直代曲”。

6、 这一特性在计算、推导其他极限公式、导数公式、积分公式 时，会反反复复地用到。

7、sinx、x、tanx 也给夹挤定理 squeeze theorem 提供了最原始的实例。

8、也给复变函数中 sinz/z 的定积 分提供 graphical solution 的形象理解。

9、、、、、、、、2、关于 e 的重要性，更是登峰造极。

10、 表面上它起了两个作用： A、一个上升、有阶级数，跟一个下降的有阶级数，具有一个共同极限； B、破灭了我们原来的一些固有概念： 大于1的数开无限次幂的结果会越来越小，直到1为止； 小于1的正数开无限次幂的结果会越来越大，直到1为止； 、、、、、、、、、、、、、、、； 整体而言，e 的重要极限，有这么几个意义： （1）、将代数函数、对数函数、三角函数，整合为一个整体理论， 再结合复数理论，它们成为一个严密的互通互化互补的、相辅 相成、交相印证的完整理论体系； （2）、使得整个微积分理论，包括微分方程理论，简洁明了。

11、没有 了 e^x 这一函数，就没有了 lnx，也就没有一切理论，所有 的公式将繁复万分、不得要领、无法理喻。

12、楼主的问题，详细细细阐述下去，将是一本巨无霸的天书。

13、加油吧！在微积分理论中，我们的贡献是0，是历史；歪解、硬拗，是现实；这是铁打的悲催事实！未来只能靠你们，只能靠子孙后代来争气了！。

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